Instytut Podstawowych Problemów Techniki

Streszczenie:

A dense packing of the Voronoi polygons (VP) was created by the Centroidal Voronoi (CV) iteration. It includes VPs with 5, 6 or 7 sides. VPs are represented in a dual triangular representation. In this way, a polycrystal containing grains made of hexagons is formed. The grains are separated by lines of 5/7 pairs. To emphasize the orientation of the grains, we colour the edges of triangles according to a saturated colour circle (CC). The colouring depends on the edge direction modulo 60 degrees. Thanks to this, the colour of edges of an equilateral triangle is the same. Since the colours give the direction of the edges, the colours of the edges of the pentagon go in the opposite direction to the colours of the edges of the heptagon. Thus the CV iteration leads to uniform packing and to the famous hexatic phase transition.

Słowa kluczowe:

Voronoi’s polygon, duality, Colour Circle, 5/7 dislocation, film

Afiliacje autorów:

Streszczenie:

Wieże Hanoi są znaną łamigłówką matematyczną, która mimo swej pozornej prostoty jest ważna w różnych dziedzinach nauki. Przypominamy łamigłówkę i dyskutujemy najprostszy algorytm jej rozwiązania, podany przez polskiego matematyka Andrzeja Lissowskiego. Zgodnie z tym algorytmem w każdym kroku korzystamy z dwu pól: pole, z którego bierzemy krążek, i pole, na które krążek kładziemy. Trzecie pole w tym kroku nie pełni żadnej roli. Nazywamy je polem nieruszonym. Na przykład, jeżeli przekładamy krążek z pola A na pole B, to pole C nie jest ruszone. Patrząc na kolejność pól nieruszonych, zauważamy, że pola nieruszone przesuwają się po okręgu. Omawiamy związek algorytmu z innymi zadaniami matematycznymi, takimi jak drzewo Lindenmayera, krzywa smoka i trójkąty Sierpińskiego.

Słowa kluczowe:

okresowość, pole nieruszone, rekurencja, trójkąty Sierpińskiego

Afiliacje autorów:

Streszczenie:

An experimental botanical fact is the spiral growth of leaves and flowers, and in general of plant buds. Each new shoot in the meristem is formed at an angular distance from the previous one equal to the angle of the golden ratio, i.e. 137.5 degrees. What is most astonishing is that the theory of the golden ratio and its connection with Fibonacci numbers also finds its expression in botany. Each bud produces 5, 6 or 7 diagonals. Adding a new point in the middle of the bud system (in the meristem) pushes the existing points apart so that on each dislocation circle there is an exchange of contacts, i.e. the so-called one flip. The article concludes with a proposal to apply the DISCHARGING procedure (used by Heesch to solve the four-color problem) to precisely determine the geometric curvature of the divided tissue. An appendix is also provided, which explains in more detail the lesser-known concepts from mathematics and crystallography used in the article.

Słowa kluczowe:

remodeling of biological tissue, parastichies, Fibonacci-Lucas numbers, leaf buds

Afiliacje autorów: